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Introducción al Análisis Vectorial
El estudio de los vectores que desarrollaremos nos ayudará a explicar, comprender y evaluar algunos fenómenos físicos que requieren para su descripción, del uso de magnitudes vectoriales como la velocidad de un avión, el desplazamiento de un automóvil, la fuerza aplicada a un ladrillo, la cantidad de movimiento de una bola de billar, etc.
Galileo Galilei (1564 – 1642) fue uno de los primeros científicos que al estudiar el movimiento de los proyectiles, tuvo la necesidad de usar vectores con el fin de determinar para un instante, la velocidad del proyectil, la composición de sus velocidades en la dirección horizontal y en la dirección vertical.
La importancia que tienen los vectores para la Física es que a través de ellos se representan las magnitudes vectoriales; lo cual permite una mejor descripción de los fenómenos físicos.
Las cantidades físicas por su forma geométrica o naturaleza pueden ser clasificadas como “escalares” o “vectoriales”.
Definición de Vector
Es un ente matemático que nos sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial. Se trata de segmentos de recta con orientación; si se dibujan a escala se representa la medida de la cantidad.
Para representar la dirección de las cantidades vectoriales se han ideado a los VECTORES.
Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso, aceleración, campo eléctrico, etc.
Elementos de un Vector
Módulo: Llamado también NORMA o TAMAÑO, es la medida de la longitud del vector, el módulo se representará mediante la notación:
Si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se refiere al módulo, como lo vimos anteriormente.
Dirección: Es el ángulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas).
Sentido: Representado por la flecha del vector.
Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse.
Representación Analítica de un Vector
Dados dos puntos A y B que determinan un vector sobre el plano, la forma vectorial se define por:
Clasificación de los Vectores
Vectores Colineales
Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.
Vectores Iguales
Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido.
Vector Unitario
Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector.
Vectores Paralelos
Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí.
Vectores Coplanares
Son aquellos vectores que se encuentran contenidos en un mismo plano. 
Vectores opuestos
Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo pero sentido contrario.
Vectores concurrentes
Son aquellos que sus líneas de acción se cortan entre sí, en un mismo punto.
Se observa que las líneas de acción de los tres concurren en el punto “O”, por lo que son concurrentes
Operaciones con Vectores
Adición de Vectores
Al vector “suma” también se le llama resultante, la resultante produce el mismo efecto que los sumandos.
-
Método del Triángulo
Este método es sólo para dos vectores coplanares y concurrentes
Pasos a seguir:
- Se forma el triángulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores
- Para hallar el valor de la resultante se aplica la Ley de Lamy o de senos:
-
Método del Paralelogramo
Pasos a seguir:
- La suma o resultante es la diagonal del paralelogramo formado.
- La suma o resultante se denota:
Analíticamente:
-
Método del Polígono
- Método del Polígono Abierto: Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. Se colocan uno a continuación del otro, manteniendo constante su VALOR, DIRECCIÓN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del último. Ejemplo:
- Método del Polígono Cerrado: En este caso todos tienen la misma secuencia (horario). El extremo del último llega al origen del primero.
Diferencia de Vectores
La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia.
Casos Particulares y Posiciones Relativas de los Vectores
En los documentos que te dejaremos, encontraras 6 casos particulares y posiciones relativas de los vectores, te recomendamos verificar estos casos:
Descomposición Rectangular de un Vector
Aquí te mostramos como se da la descomposición rectangular de un vector:
Componentes rectangulares de un vector en el plano
Las componentes rectangulares están dadas por:
- Módulo del Vector A
- Dirección del Vector A Respecto al eje «X»
Vectores en el Espacio
Análogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado, los puntos del espacio se representan mediante ternas de números o coordenadas espaciales.
Puntos en el espacio
X: eje de abscisas, Y: eje de ordenadas, Z: eje de cotas
Expresión vectorial de un vector en el Espacio
Un vector A, se puede escribir como combinación lineal de sus vectores unitarios canónicos, así:
Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:
Módulo de un vector en el Espacio
El módulo de un vector “A”, está dado por:
Dirección de un vector en el Espacio
La dirección de un vector en el espacio, está dada por sus ángulos de orientación con respecto a los 3 ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ángulos se denominan cosenos directores.
Cosenos directores
Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados por:
Operaciones con Vectores en el Espacio
Suma y Diferencia de Vectores en el Espacio
Dados dos vectores:
Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente:
Multiplicación por Escalar
Dado el vector “A” y un escalar “r” se define como producto por escalar a la operación:
Donde el vector rA, es múltiplo y necesariamente paralelo al vector A.
Propiedades de la Multiplicación por escalar:
Dado los vectores «A» y «B» y los escalares «r» y «s», se cumple:
Producto Interno o Producto Punto
Dados dos vectores:
Se define como producto interno de vectores a la expresión dada por:
Observe que:
Otra definición:
Es posible también definir el producto interno mediante la relación:
Propiedades del Producto Interno:
Dado los vectores «A», «B» y «C» y los escalares «r» y «s», se cumple:
Importante:
Del vector suma, de acuerdo a las propiedades:
Observe: ¡Esta es la ley del coseno!
Producto Vectorial o Producto Cruz
Dados dos vectores “A” y “B” se define como producto vectorial AxB, a la expresión definida por el determinante:
Propiedades del Producto Vectorial
Dado los vectores «A», «B» y «C» y los escalares «r» y «s», se cumple:
Producto de Vectores Canónicos
Puesto que un vector siempre es paralelo a sí mismo:
Regla de la mano derecha
Sirve para determinar la dirección del vector AxB
¡Observe!
Interpretación Geométrica del Vector AxB
El vector AxB, está representado por un vector perpendicular, tanto al vector «A» como al vector «B». Su módulo es igual al área del paralelogramo formado.
Doble Producto Vectorial
Producto Triple
Dado los vectores «A», «B» y «C», se define como producto triple «A.(BxC)» a la expresión definida por un determinante de la forma:
Interpretación Geométrica de Producto Triple
El producto triple «A.(BxC)» de los vectores «A», «B» y «C» es igual al volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores.
Ejemplos de Operaciones de Vectores
Ahora te compartiremos 5 ejemplos ilustrativos de Operaciones con vectores, donde aplicamos todos los conceptos que ya mencionamos anteriormente:
La Trigonometría y los Vectores
Trigonometría
La trigonometría la inventó Hiparco hacia el año 150 antes de J.C. Pero el primer tratado sistemático se debe a Regiomontanus en 1464. Su obra Triangulis emplea solamente las funciones seno y coseno.
La trigonometría, como su nombre indica, ha tenido por objeto fundamental, el calculo de todos los elementos de un triangulo (alturas, bisectrices, área…) con ayuda de datos suficientes para determinarlos, algunos de ellos angulares. Así, la introducción de los ángulos en los cálculos relativos al triángulo, completa la geometría que establece solamente relaciones métricas.
Hoy, la trigonometría se utiliza fuera de toda consideración de triangulo y es absolutamente necesaria para entender la física más elemental. La mayoría de sus relaciones pueden ser deducidas del cálculo vectorial. Como vimos en este capítulo.
Vectores
Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacia el fin de siglo XVII.
Es con relación a la representación geométrica de los números llamados imaginarios como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente analizadas, sin que el concepto de vector esté aún claramente definido. Fue mucho más tarde y gracias al desarrollo de la geometría moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector y de operaciones vectoriales se concretaron.
El alemán Grossman, en 1844, por métodos geométricos, introdujo formalmente las bases del cálculo vectorial (suma, producto escalar y vectorial).
El ingles Hamilton, por cálculos algebraicos llego a las mismas conclusiones que Grossman; empleó por primera vez los términos escalar y vectorial.
Hacia el final del siglo XIX, el empleo de los vectores se generalizo a toda la física. Bajo la influencia de los ingleses Hamilton, Stokes, Maxwell, Heaviside y del americano Gibas (quien utilizó la notación del punto para el producto escalar y del X para el producto vectorial) ademas se amplió el cálculo vectorial, colocando nociones más complejas, como los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional.
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